Función Lineal: Introducción

Una bicicletería cobra por el alquiler de cada bicicleta una cantidad fija de $2, más 10 centavos por cada minuto. ¿Cuál es la fórmula que expresa el importe del alquiler de una bicicleta en función del tiempo?

Al tiempo, que es la variable independiente, lo designaremos con la letra x. Al importe, que es la variable dependiente, lo designaremos con la letra y. En la siguiente tabla se muestra la variación del importe (y) para los distintos valores del tiempo (x):

En esta gráfica están representados los distintos valores de la tabla anterior:

Los puntos (0,2), (20,4), (30,5), (60,8) están alineados, es decir están en una misma linea recta.

¿Qué pasa si se toman tiempos intermedios entre los valores dados en la tabla?

Se observaría que también originan puntos ubicados en esa recta.

Todas la funciones cuya gráfica son rectas tienen la forma y=mx+b. A estas funciones se las llama lineales.

Las funciones de la forma y=mx+b (con 

m≠0) se llaman funciones lineales. La gráfica de una función lineal es una recta.


ACTIVIDADES.

 1- Teniendo en cuenta el ejemplo de las bicicletas, determinar el tiempo que una persona alquiló una bicicleta, si pagó $6,50.

2- En una compañía eléctrica, la cuota de abono bimestral es de $16 y, además por cada kWh(kilovatios/hora) consumido hay que abonar $0,08.

  a) Hace una tabla de valores que relacione los kWh consumidos y el importe abonado.

  b) Representar gráficamente los valores de la tabla.

  c) Escribir una fórmula de la función correspondiente a esta situación.

  d) Si una familia consumió 234,26 kWh, ¿cúal será el importe de la factura?

  e) ¿Cúantos kWh consumió una familia que pagó $48,06?

Representación gráfica de una Función Lineal

El siguiente es  un video que les explicará como hacer la gráfica de una función lineal sin tener que realizar una tabla de valores:

Observemos que cuando la pendiente es mayor que cero la función es creciente, y cuando la pendiente es menor que cero la función es decreciente.

Actividad:

A partir de este video, realizar la gráfica de la actividad número 2 dada anteriormente.

Rectas paralelas y perpendiculares

Si tenemos en cuenta el ejemplo de la bicicletería, pero ahora cosiderando que solo se cobra 10 centavos  por cada minuto recorrido en la misma, ¿cuál sería la fórmula que expresa el importe del alquiler de una bicicleta en función del tiempo? 

Si realizamos la gráfica de ambas funciones, es decir la obtenida al comienzo del tema función lineal y la que acabamos de encontrar se puede visualizar lo siguiente:

 

Referencia:  y=0,1x+2

                   y=0,1x

Podemos observar que ambas rectas son paralelas, pues tienen la misma pendiente.

Dos funciones lineales tienen como gráficas rectas paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

Veamos en el siguiente vídeo como se obtienen las rectas paralelas:

Rectas perpendiculares:

Referencia:

y=3/4x+2

y=-4/3x-1

Observemos que:

Dos rectas son perpendiculares si tienen sus pendientes inversas y opuestas, es decir que m=-1/m

Actividad:

 Teniendo en cuenta la recta y-5= 4x,hallar una recta perpendicular a la dada.

Función de Proporcionalidad Directa: Introducción

Veamos de que manera podemos resolver el siguiente problema:

Para fabricar cada kg de helado en la heladería del barrio, utilizan entre otras cosas, 1/2 litro de leche. La cantidad de leche que necesitan está en función de la cantidad de helado que quieren producir.

 a) Completar la tabla que muestra algunos valores de esa función.

b) Trasladar los puntos a un sistema de ejes ¿Se puede trazar una recta que los contenga?

c) Observar los datos de la tabla o del gráfico y completar

  Para preparar el doble de helado se necesita............... de leche; para preparar la mitad del helado se necesita.............. de leche; para hacer el................de helado, se usa el triple de leche.

Cuando dos variables se relacionan de tal manera que al modificarse una también lo hace la otra en misma proporción(como en el caso anterior), la relación entre ellas es directamente proporcional.

Los puntos que corresponden a un gráfico de una función de proporcionalidad directa simpre están sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas del sistema: (0,0)

Toda función que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales se llama función de proporcionalidad directa y su fórmula es y=k.x ,siendo k la constante de proporcionalidad.

Toda función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales se llama función de proporcionalida inversa. (Haz click en ese link para más información).

Función de Proporcionalidad: Actividades propuestas

 1- Un millar de ladrillos cuesta $80, y el precio de los ladrillos es siempre proporcional a la cantidad que se compra.

a) Expresar el gasto en función de la cantidad de ladrillos que se compran.

b) ¿Cuánto se gastará una persona si se compran 830 ladrillos?

2- Leer el siguiente articulo y responder.

 a) Escribir en cada caso cuantas horas aproximadamente de uso se deben dedicar para llegar al límite propuesto por la empresa:

  1) Escuchar radio on line:..................

  2) Visualizar vídeos o tv on line:.................

 b)  Completar la tabla.

              1024 kilobytes= 1 megabytes

c) Responder.

  1) ¿Cuántos minutos se necesitan para bajar la actualización de un juego de 8 megabytes?

  2) ¿Cuántos megabytes ocupa un archivo que tardó 17 minutos en bajar de la red?

d) Resolver las siguientes situaciones.

  1) Encontrar la expresión de la función que permite calcular el dinero que se debe pagar por gigabyte excedido(incluido el iva).

  2) Clasificar la función y aclarar cuales son las variables relacionadas.

  3) Representar la función en un par de ejes cartesianos.

Función Lineal y Proporcionalidad Directa

A continuación se mostrará un vídeo que relaciona la Función Lineal y la Proporcionalidad Directa.

De acuerdo con el vídeo responde:

a) ¿Qué nos brinda el tema proporcionalidad directa?

b) ¿Cuándo se rompe la proporcionalidad directa?

Mapa integrador

A continuación se presenta un mapa conceptual que integra todos los temas visto en cada entrada:

Propuesta Didáctica.

El tanque de nafta del automóvil de Julián tiene una capacidad de 50 litros.

Julián sabe que con 1 litro de nafta, a velocidad constante, el automóvil recorre 8 km.  Entonces se pregunta:
 a) ¿Cuántos km puede recorrer el automóvil con 5 litros de nafta? 
 b) ¿Con la mitad del tanque cuantos km recorrerá? 
 c) ¿Y con el tanque lleno? 
 d) Para recorrer 240km ¿Cuántos litros de nafta se necesitan? ¿y para recorrer 160km? 
e) ¿Cuál es la expresión que permite calcular la distancia recorrida de acuerdo a los litros de nafta?

x Nafta (litros)	y Distancia (km)
1	8
5	40
25	200
50	400
30	240
20	160

Respuestas: 

a) Puede recorrer 40km. 
b) Recorrerá 200km. 
c) Recorrerá 400km. 
d) Necesita 30 litros de nafta. Para 160km necesita 20 litros de nafta. 
e) La expresión es: y=8.x

En este caso analizaremos cuales son las condiciones como así también las indicaciones que se tienen en cuenta en 8º año.

Vamos a considerar que esta actividad es para introducir el tema función de proporcionalidad directa.

 Condiciones del problema:

·        Aceptación: los alumnos aceptan que es un problema porque entienden que a mayor cantidad de combustible mayor distancia recorrida.

·        Bloqueo: si considero que ya tienen como concepto previo lo que proporcionalidad directa, el bloqueo se presentará en la obtención de la fórmula general que les permitirá a los alumnos calcular la cantidad de nafta de acuerdo a la distancia recorrida. Es justamente lo que más les cuesta  obtener, por eso en esta instancia debe intervenir el docente como guía para orientarlos en la obtención de esa expresión.  Este bloqueo los lleva a los alumnos a la siguiente condición:

·        Exploración: el hecho de aceptar la actividad los llevará querer encontrar la expresión de la fórmula deseada, la cual fue mencionada en la condición de bloqueo.

2-a) De acuerdo a lo elaborado en el ítem anterior identifiquen que tipo de interpretación aplican, justificando su elección.

  -Enseñar sobre la resolución de problemas: con esto se pretende que los alumnos aprendan el concepto de función de proporcionalidad aplicando distintas estrategias que los lleve a encontrar la expresión de la formula que permite calcular la cantidad de nafta de acuerdo a la distancia recorrida.

  -Enseñar vía la resolución de problemas: con este problema se pretende introducir el concepto de función de proporcionalidad directa.

3-Una vez enunciados los problemas controlar su consistencia aplicando los principios enunciados por G. Polya.

1)  COMPRENDER EL PROBLEMA:

Es un enunciado claro, los alumnos entienden que a mayor cantidad de combustible mayor distancia recorrida. Por ello no será un obstáculo la comprensión del enunciado.

    2) CONFIGURAR Y EJECUTAR EL PLAN:

Se pretende que los alumnos encuentren un patrón de trabajo que los llevará a la expresión deseada que les permita calcular como ya se dijo antes la cantidad de nafta de acuerdo a la distancia recorrida. Para ello constan de una serie de preguntas que se hace y esto les permite poder completar la tabla para de esta manera hacer la generalización de la expresión anteriormente mencionada. Pero por ser justamente los que más se les dificulta, ahí el docente actuará como guía:

Una vez completada la tabla, el docente les dirá que dividan en cada fila de la tabla, la distancia recorrida por la cantidad de litros de nafta empleada, esto es y/x luego les preguntará

¿Qué observan? Por lo que los alumnos dirán que siempre se obtiene el mismo valor que en este caso es 8.

Entonces el docente escribirá en la pizarra y/x=8, que también puede escribirse como y=8.x

Entonces el docente dirá que la cantidad  de km que se puede recorrer es directamente proporcional al número  de litros de nafta, luego si ubicamos los puntos en un sistema de ejes cartesianos, podemos ver que los puntos pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas.

La fórmula de la función es y=8.x

Una vez hecho lo anterior, el docente realizará la institucionalización:

Si la fórmula de un función es y=k.x, donde k  es una constante entonces los valores de y son directamente proporcionales a los valores de x . Los puntos de la función pertenecen a una recta que pasa por el origen y k es la constante de proporcionalidad. Dicha función recibe el nombre de función de proporcionalidad directa.

   3) COMPROBAR EL PLAN:

Una vez encontrada la expresión que les permitirá calcular la cantidad de litros de nafta de acuerdo a la distancia, reemplazarán los valores de la tabla para verificar los resultados obtenidos y de esta manera afirmar que la respuesta obtenida es la correcta.

Análisis de la propuesta.

  

indicador	Si	No	Cómo se evidencia
Conocimiento olvidado	x		En la primera parte del problema que se da como introducción, se les presenta a los alumnos una serie de preguntas y luego una tabla que deben completar, con lo que deben solamente aplicar como concepto previo proporcionalidad directa. El conocimiento olvidado puede  presentarse justamente en este concepto  mencionado, como así también cuando deben encontrar  la expresión de la fórmula pedida se puede dar porque no recuerdan el concepto de  las expresiones algebraicas y el concepto de función que es lo que los llevará a la obtención de la fórmula.
Conocimiento inerte	x		Se dá este indicador en la imposibilidad de usar expresiones algebraicas y el concepto de función que es lo que les permitirá llegar a la expresión deseada.
Conocimiento ingenuo			No se da pues, el problema propuesto esta relacionado en la vida diaria.
Conocimiento ritual	x		Si se da este indicador, cuando los alumnos deben completar la tabla comienzan utilizando proporcionalidad directa y luego siguen haciéndolo de forma rutinaria.
Manejo insuficiente de los problemas matemáticos	x		Este indicador puede presentarse porque cuando los alumnos obtienen los diferentes resultados en la tabla no analizan si lo que obtuvieron está acorde al problema planteado, o bien cuando al obtener la expresión  no reemplacen los valores de la tabla para verificar si lo que obtuvieron es correcto.
Inferencias pobres a partir de la lectura	x		Si puede darse, pues puede suceder que los alumnos no tengan en cuenta que los km recorridos no pueden tomar valores negativos cuando realizan el gráfico.
Estrategias que sólo apuntan a enunciar los conocimientos en los escritos, sin una reconstrucción creativa		x	No se lleva a cabo, pues se pretende que los alumnos aprendan el concepto de función de proporcionalidad aplicando distintas estrategias que los lleve a encontrar la expresión que permite calcular la cantidad de nafta de acuerdo a la distancia recorrida.
Repetición mecánica	x		Este indicador si puede darse pues cuando deben completar la tabla deben aplicar reiteradamente proporcionalidad directa.

Considero que el nivel de comprensión que se llevó a cabo en la resolución del problema es del nivel 1, el cual tiene que ver con el contenido. En este caso solo se ha guiado a los alumnos a lo que deben hacer sin dejar lugar a la investigación.

Análisis de la Reformulación.

		indicador	A través de:
Condiciones		Información clara	Por concepto previo se encuentra proporcionalidad directa, en cuanto a los resultados esperados, se pretende que los alumnos se replanteen ciertos datos obtenidos.
		Práctica reflexiva	Análisis de los datos obtenidos para verificar si los mismos estan acorde al problema.
		Motivación	Esta dada pues es un problema relacionado con la vida diaria.
Principios		Instrucción didáctica	El enunciado del problema se presenta de forma clara y concisa para los alumnos.
		Entrenamiento	A traves del trabajo en grupo, esto fomenta la discusión y puestas en común de los alumnos en cuanto a la obtención de resultados.
		Enseñanza socrática	Justificación por parte de los alumnos acerca de los resultados obtenidos para que defiendan sus argumentos.
Estrategias		Imágenes mentales	Representación gráfica de la función de proporcionalidad directa.
		Temas generadores	Proporcionalidad Directa
	Actividades de comprensión	o  explicación o  ejemplificación o  aplicación o  justificación o  comparación y contraste	_ Justificación de los resultados obtenidos. _ Aplicación del tema aprendido en nuevas situaciones problematicas.
	Niveles de comprensión	Nivel 1: contenido	Se ha desarrollado el tema función de proporcionalidad directa.
		Nivel 2: Resolución de problemas	La actividad propuesta hará que el alumno se replantee los datos obtenidos, esto servirá para que analice si lo  que obtUvo está sujeto a la situación problemática.
		Nivel 3: epistémico
		Nivel 4: investigación
		Recursos tecnológicos	El uso del programa para graficar llamado Scientific WorkPlace.

Reformulación de la propuesta.

El tanque de nafta del automóvil de Julián tiene una capacidad de 50 litros. 

Julián sabe que con un litro de nafta, a velocidad constante, su automóvil recorre 8 km. Entonces se pregunta:

a) ¿Cuántos km puede recorrer el automóvil con 5 litros de nafta? 

b) Para recorrer 240km ¿Cuántos litros de nafta necesitaré?

c) ¿Cuál es la expresión que me permite calcular la distancia recorrida de acuerdo a los litros de nafta?

Dada la siguiente tabla, completar con los valores correspondientes:

Una vez completada la tabla, realizar el cociente entre la distancia recorrida y los litros de nafta. ¿Qué se observa?
Encontrar la expresión que le permite a Julián calcular la distancia recorrida de acuerdo a los litros de nafta empleados.

Volcar los datos de la tabla en un gráfico cartesiano utilizando el programa Scientif WorkPlace.

Para discutir en grupo:

De acuerdo a los siguientes interrogantes, se pueden responder teniendo en cuenta la situación planteada.

1) ¿Cuántos litros de nafta necesitará Julián para recorrer 650km?

2) Con 75 litros nafta ¿Cuántos km puede recorrer Julián con su automóvil?

Desafío:

Redactar un problema de proporcionalidad directa, donde la constante de proporcionalidad sea 4.